Soutenance - Thi Trang NGUYEN

Soutenance de thèse - Thi Trang NGUYEN Thi Trang NGUYEN, en vue de l’obtention du grade de Docteur en Mathématiques et Sciences et Technologies de l’Information et de la Communication, spécialité « Mathématiques et leurs interactions », présentera ses travaux intitulés : « Produits de matrices aléatoires positives et processus de branchement multitypes dans des environnements aléatoires : théorèmes limites et grandes déviations » le 13 décembre à Vannes.

Date 13/12

Résumé

Produits de matrices aléatoires positives et processus de branchement multitypes dans des environnements aléatoires : théorèmes limites et grandes déviations.

Soit un processus de branchement surcritique à  types dans un environnement aléatoire indépendant et identiquement distribué , partant de , où la distribution de la descendance au temps n dépend de l’environnement . Nous établissons plusieurs théorèmes limites pour , incluant un théorème de type Kesten-Stigum pour les produits scalaires ,  et un résultat de convergence pour la direction . De plus, nous dérivons des estimations précises des grandes déviations pour , la taille totale de la population à la génération n, ainsi que pour les produits scalaires . Nous prouvons également une borne de type Berry-Esseen dans le théorème central limite pour la taille de la population du -ème type  et un principe de déviation modérée pour , pour chaque . Pour les preuves, nous établissons d’abord un théorème de type Perron-Frobenius pour les produits d’une suite stationnaire et ergodique de matrices aléatoires positives , et nous démontrons la convergence stable et mélangeante de la direction du vecteur  lorsque les matrices   sont indépendantes et identiquement distribuées. Ces résultats sont d’un intérêt indépendant. En particulier, le théorème de type PerronFrobenius conduit à des lois des grands nombres pour les produits de matrices aléatoires sous des conditions plus faibles que celles utilisées auparavant dans la littérature.

Mot clés : Processus de branchement multi-type, environement aléatoire, produits de matrices aléatoires, le changement de mesure

Abstract

Products of positive random matrices and multitype branching processes in random environments: Limit theorems and large deviations.

Let  be a supercritical branching process of  types in an independent and identically distributed random environment , starting with , where the offspring distribution at time n depends on the environment . We establish several limit theorems for , including a Kesten-Stigum type theorem for the scalar products , and a convergence result for the direction . Additionally, we derive precise large deviation estimates for , the total population size at generation , as well as for the scalar products . We also prove a Berry-Esseen type bound in the central limit theorem for the -th type population size  and a moderate deviation principle for , for each   . For the proofs, we first establish a PerronFrobenius type theorem for products of a stationary and ergodic sequence of positive random matrices , and demonstrate stable and mixing convergence of the direction of the vector when the matrices  are independent and identically distributed. These results are of independent interest. In particular, the Perron-Frobenius type theorem leads to laws of large numbers for products of random matrices under weaker conditions than those previously used in the literature.

Keywords: Multitype branching process, random environment, product of random matrices, the change of measure

Membres du jury

• Pr Pascal MAILLARD, rapporteur, Professeur des Universités, Université Toulouse III Paul Sabatier, Institut de Mathématiques CNRS UMR 5219
• Pr Dariusz BURACZEWSKI, rapporteur, Professeur des Universités, Wroclaw University, Poland
• Pr Quansheng LIU, directeur de thèse, Professeur des Universités, Université Bretagne Sud, LMBA CNRS UMR 6205
• Pr Ion GRAMA, co-directeur de thèse, Professeur des Universités, Université Bretagne Sud, LMBA CNRS UMR 6205
• Pr Vincent BANSAYE, membre du jury, École Polytechnique, CMAP CNRS UMR 7641
• Pr Nicolas CURIEN, membre du jury, Professeur des Universités, Université Paris-Sud Orsay, Institut de Mathématiques d'Orsay CNRS UMR 8628
• Pr Loïc CHAUMONT, membre du jury, Professeur des Universités, Université d'Angers, LAREMA CNRS UMR 6093
• Dr Nathalie KRELL, membre du jury, Maître de Conférences HDR, Université de Rennes, IRMAR CNRS UMR 6625

Les travaux sont dirigés par Quansheng LIU et Ion GRAMA.

École doctorale MathSTIC Bretagne Océane N°644.

Informations pratiques

Vendredi 13 décembre à 14h

Salle D077

Faculté Sciences & Sciences de l'Ingénieur

Vannes

Crédit photographique : ©Université Bretagne Sud. Service Communication